Первые - это отрезки, которые прилегают к прямому углу, а гипотенуза является самой длинной частью фигуры и находится напротив угла в 90 о. Пифагоровым треугольником называется тот, стороны которого равны натуральным числам; их длины в таком случае имеют название «пифагорова тройка».

Египетский треугольник

Для того чтобы нынешнее поколение узнало геометрию в том виде, в котором ее преподают в школе сейчас, она развивалась несколько веков. Основополагающим моментом считается теорема Пифагора. Стороны прямоугольного известна на весь мир) составляют 3, 4, 5.

Мало кто не знаком с фразой «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Однако на самом деле теорема звучит так: c 2 (квадрат гипотенузы) = a 2 +b 2 (сумма квадратов катетов).

Среди математиков треугольник со сторонами 3, 4, 5 (см, м и т. д.) называется "египетским". Интересно то, что которая вписана в фигуру, равняется единице. Название возникло примерно в V столетии до н.э., когда философы Греции ездили в Египет.

При построении пирамид архитекторы и землемеры пользовались соотношением 3:4:5. Такие сооружения получались пропорциональными, приятными на вид и просторными, а также редко рушились.

Для того чтобы построить прямой угол, строители использовали веревку, на которой было завязано 12 узлов. В таком случае вероятность построения именно прямоугольного треугольника повышалась до 95%.

Признаки равенства фигур

Острый угол в прямоугольном треугольнике и большая сторона, которые равны тем же элементам во втором треугольнике, - бесспорный признак равенства фигур. Беря во внимание сумму углов, легко доказать, что вторые острые углы также равны. Таким образом, треугольники одинаковы по второму признаку.
При наложении двух фигур друг на друга повернем их таким образом, чтобы они, совместившись, стали одним равнобедренным треугольником. По его свойству стороны, а точнее, гипотенузы, равны, так же как и углы при основании, а значит, эти фигуры одинаковые.

По первому признаку очень просто доказать то, что треугольники действительно равны, главное, чтобы две меньшие стороны (т. е. катеты) были равными между собой.

Треугольники будут одинаковыми по II признаку, суть которого заключается в равенстве катета и острого угла.

Свойства треугольника с прямым углом

Высота, которую опустили из прямого угла, разбивает фигуру на две равные части.

Стороны прямоугольного треугольника и его медианы легко узнать по правилу: медиана, которая опущена на гипотенузу, равна ее половине. можно найти как по формуле Герона, так и по утверждению, что она равна половине произведению катетов.

В прямоугольном треугольнике действуют свойства углов в 30 о, 45 о и 60 о.

При угле, который равен 30 о, следует помнить, что противолежащий катет будет равен 1/2 самой большой стороны.
Если угол 45 о, значит, второй острый угол также 45 о. Это говорит о том, что треугольник равнобедренный, и его катеты одинаковы.
Свойство угла в 60 о заключается в том, что третий угол имеет градусную меру в 30 о.

Площадь легко узнать по одной из трех формул:

через высоту и сторону, на которую она опускается;
по формуле Герона;
по сторонам и углу между ними.

Стороны прямоугольного треугольника, а точнее катеты, сходятся с двумя высотами. Для того чтобы найти третью, необходимо рассматривать образовавшийся треугольник, и тогда по теореме Пифагора вычислить необходимую длину. Помимо этой формулы существует также соотношение удвоенной площади и длины гипотенузы. Наиболее распространенным выражением среди учеников является первое, так как требует меньше расчетов.

Теоремы, применяемые к прямоугольному треугольнику

Геометрия прямоугольного треугольника включает в себя использование таких теорем, как:

Треугольник представляет собой геометрическое число, состоящее из трех сегментов, которые соединяют три точки, которые не лежат на одной линии. Точки, которые образуют треугольник, называются его точками, а сегменты бок о бок.

В зависимости от типа треугольника (прямоугольного, монохромного и т. Д.) Вы можете рассчитать сторону треугольника по-разному, в зависимости от исходных данных и условий проблемы.

Быстрая навигация для статьи

Чтобы вычислить стороны прямоугольного треугольника, используется теорема Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов ноги.

Если мы отмечаем ноги буквами «a» и «b», а гипотенуза — «c», то страницы могут быть найдены со следующими формулами:

Если известны острые углы прямоугольного треугольника (a и b), его стороны могут быть найдены со следующими формулами:

Обрезанный треугольник

Треугольник называется равносторонним треугольником, в котором обе стороны одинаковы.

Как найти гипотенузу в двух ногах

Если буква «a» идентична одной и той же странице, «b» — основание, «b» — угол, противоположный основанию, «a» — смежный угол для вычисления страниц может использовать следующие формулы:

Два угла и боковая сторона

Если известны одна страница (c) и два угла (a и b) любого треугольника, формула синуса используется для вычисления оставшихся страниц:

Вы должны найти третье значение y = 180 — (a + b), потому что

сумма всех углов треугольника равна 180 °;

Две стороны и угол

Если известны две стороны треугольника (a и b) и угол между ними (y), для вычисления третьей стороны может быть использована теорема косинуса.

Как определить периметр прямоугольного треугольника

Треугольный треугольник представляет собой треугольник, один из которых равен 90 градусам, а два других — острые. расчет периметр такой треугольник в зависимости от количества известных сведений об этом.

Вам это понадобится

В зависимости от случая, навыки 2 трех сторон треугольника, а также один из его острых углов.

инструкции

первый Метод 1. Если известны все три страницы треугольник , Затем, независимо, перпендикулярно или не треугольно, периметр рассчитывается как: P = A + B + C, где возможно, c — гипотенуза; a и b — ноги.

второй Способ 2.

Если в прямоугольнике есть только две стороны, то, используя теорему Пифагора, треугольник может быть рассчитана по формуле: P = v (a2 + b2) + a + b или P = v (c2 — b2) + b + c.

третий Метод 3. Пусть гипотенуза c и острый угол? Учитывая прямоугольный треугольник, можно будет обнаружить периметр таким образом: P = (1 + sin?

четвёртая Метод 4. Говорят, что в правом треугольнике длина одной ноги равна а и, напротив, имеет острый угол. Затем вычислить периметр это треугольник будет выполняться по формуле: P = a * (1 / tg?

1 / сын? + 1)

пятые Способ 5.

Онлайн-расчет треугольника

Позвольте нашей ноге привести и быть включенным в нее, тогда диапазон будет рассчитываться как: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Похожие видео

Теорема Пифагора является основой любой математики. Определяет связь между сторонами истинного треугольника. Теперь указано 367 доказательств этой теоремы.

инструкции

первый Классическая школьная формулировка теоремы Пифагора звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов ног.

Чтобы найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике двух Catets, вы должны обратиться, чтобы построить квадрат длины ног, собрать их и взять квадратный корень из суммы. В оригинальной формулировке его высказывания рынок основан на гипотенузе, равном сумме квадратов из 2 квадратов производства Catete. Однако современная алгебраическая формулировка не требует введения представления области.

второй Например, прямоугольный треугольник, ноги которого составляют 7 см и 8 см.

Тогда, согласно теореме Пифагора, квадратная гипотенуза равна R + S = 49 + 64 = 113 см. Гипотенуза равна квадратному корню из числа 113.

Углы прямоугольного треугольника

Результатом стал необоснованный номер.

третий Если треугольники — ноги 3 и 4, то гипотенуза = 25 = 5. Когда вы извлекаете квадратный корень, вы получаете натуральное число. Числа 3, 4, 5 образуют пигагорейский триплет, так как они удовлетворяют соотношению x? + Y? = Z, что естественно.

Другими примерами пифагорейского триплета являются: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

четвёртая В таком случае, если ноги идентичны друг другу, теорема Пифагора превращается в более примитивное уравнение. Например, пусть такая рука равна числу А и гипотенуза определена для С, а затем с? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. В этом случае вам не нужен A.

пятые Теорема Пифагора — частный случай, который больше общей теоремы косинуса, который устанавливает связь между тремя сторонами треугольника для любого угла между двумя из них.

Совет 2: Как определить гипотенузу для ног и углов

Гипотенуза называется стороной в прямоугольном треугольнике, которая противоположна углу 90 градусов.

инструкции

первый В случае известных катетеров, а также острого угла прямоугольного треугольника может гипотенузы размер, равный отношению ноги к косинус / синус этого угла, если угол находился напротив / е включают в себя: Н = С1 (или С2) / грех, Н = С1 (или С2 ?) / cos ?. Пример: Пусть ABC задан неправильный треугольник с гипотенузой AB и под прямым углом C.

Пусть B равно 60 градусам и A 30 градусов. Длина ножки BC 8 см. Должна быть обнаружена длина гипотенузы AB. Для этого вы можете использовать один из вышеуказанных методов: AB = BC / cos60 = 8 см. AB = BC / sin30 = 8 см.

Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольника треугольник . Он расположен под прямым углом. Метод поиска гипотенузы прямоугольника треугольник в зависимости от исходных данных.

инструкции

первый Если ваши ноги перпендикулярны треугольник , то длина гипотенузы прямоугольника треугольник может быть обнаружено пифагорейским аналогом — квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин ног: c2 = a2 + b2, где a и b — длина ног правой треугольник .

второй Если известно, и одна из ног под острым углом, формула для нахождения гипотенузы будет зависеть от наличия или отсутствий под определенным углом по отношению к известному катету — смежно (катет расположена вблизи), или наоборот (расположено противоположный случай nego.V указанного угол равен доле гипотенуза ноги в косинусном угол: a = a / cos; E, с другой стороны, гипотенуза такая же, как отношение синусоидальных углов: da = a / sin.

Похожие видео

Полезные советы
Угловой треугольник, стороны которого связаны как 3: 4: 5, называемые египетской дельтой, из-за того, что эти фигуры широко используются архитекторами древнего Египта.

Это также самый простой пример треугольников Джерона, в котором страницы и область представлены целыми числами.

Треугольник называется прямоугольником, угол которого равен 90 °. Сторона, противоположная правому углу, называется гипотенузой, другая — ногами.

Если вы хотите найти, как прямоугольного треугольника, образованного некоторыми свойствами правильных треугольников, а именно тот факт, что сумма острых углов 90 °, который используется, и тот факт, что длина противоположной ноги составляет половину гипотенузы составляет 30 °.

Быстрая навигация для статьи

Обрезанный треугольник

Одним из свойств равного треугольника является то, что его два угла одинаковы.

Чтобы вычислить угол прямоугольного равного треугольника, вам нужно знать, что:

Это не хуже 90 °.
Значения острых углов определяются по формуле: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, т.е.
Углы α и β равны 45 °.

Если известное значение одного из острых углов известно, другое можно найти по формуле: β = 180º-90º-α или α = 180º-90º-β.

Это соотношение наиболее часто используется, если один из углов составляет 60 ° или 30 °.

Ключевые понятия

Сумма внутренних углов треугольника равна 180 °.

Потому что это один уровень, два остаются острыми.

Вычислить треугольник онлайн

Если вы хотите их найти, вам нужно знать, что:

Другие способы

Значения острых углов прямоугольного треугольника могут быть вычислены из среднего значения — с линией от точки на противоположной стороне треугольника, а высота — линия представляет собой перпендикуляр, опущенной из гипотенузы под прямым углом.

Пусть медиана вытягивается от правого угла до середины гипотенузы, а h — высота. В этом случае оказывается, что:

sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
sin α = h / b; sin β = h / a.

Две страницы

Если длины гипотенузы и одна из ног известны в прямоугольном треугольнике или с двух сторон, то для определения значений острых углов используются тригонометрические тождества:

α = arcsin (a / c), β = arcsin (b / c).
α = arcos (b / c), β = arcos (a / c).
α = arctg (a / b), β = arctg (b / a).

Длина прямоугольного треугольника

Площадь и площадь треугольника

периметр

Окружность любого треугольника равна сумме длин трех сторон. Общая формула для поиска треугольного треугольника:

где P — окружность треугольника, a, b и c его стороны.

Периметр равного треугольника можно найти путем последовательного объединения длин его сторон или умножения боковой длины на 2 и добавления к продукту длины основания.

Общая формула для нахождения равновесного треугольника будет выглядеть так:

где P — периметр равного треугольника, но либо b, b — основание.

Периметр равностороннего треугольника можно найти путем последовательного объединения длины его сторон или путем умножения длины любой страницы на 3.

Общая формула для нахождения обода равносторонних треугольников будет выглядеть так:

где P — периметр равностороннего треугольника, a — любая из его сторон.

область

Если вы хотите измерить область треугольника, вы можете сравнить ее с параллелограммом. Рассмотрим треугольник ABC:

Если мы возьмем тот же треугольник и зафиксируем его так, чтобы мы получили параллелограмм, мы получим параллелограмм той же высоты и основы, что и этот треугольник:

В этом случае общая сторона треугольников складывается вместе по диагонали формованного параллелограмма.

Из свойств параллелограмма. Известно, что диагонали параллелограмма всегда делятся на два равных треугольника, то поверхность каждого треугольника равна половине диапазона параллелограмма.

Так как площадь параллелограмма совпадает с продуктом его базовой высоты, площадь треугольника будет равна половине этого продукта. Таким образом, для ΔABC область будет одинаковой

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник:

Два одинаковых прямоугольных треугольника можно сгибать в прямоугольник, если он прислоняется к ним, что каждая другая гипотенуза.

Так как поверхность прямоугольника совпадает с поверхностью соседних сторон, площадь данного треугольника одинакова:

Отсюда можно заключить, что поверхность любого прямоугольного треугольника равна произведению ног, деленная на 2.

Из этих примеров можно сделать вывод, что поверхность каждого треугольника такая же, как произведение длины, а высота снижается до подложки, разделенной на 2.

Общая формула для поиска области треугольника будет выглядеть так:

где S — область треугольника, но его основание, но высота падает на дно a.

В математике при рассмотрении треугольника обязательно уделяют много внимание его сторонам. Поскольку данные элементы формируют эту геометрическую фигуру. Стороны треугольника используются для решения многих задач по геометрии.

Определение понятия

Отрезки, соединяющие три точки, которые не лежат на одной прямой, называются сторонами треугольника. Рассматриваемые элементы ограничивают часть плоскости, что называют внутренностью данной геометрической фигуры.

Математики в своих расчетах допускают обобщения, касающиеся сторон геометрических фигур. Так, в вырожденном треугольнике три его отрезка лежат на одной прямой.

Характеристики понятия

Расчет сторон треугольника предполагает определение всех остальных параметров фигуры. Зная длину каждого из этих отрезков можно легко вычислить периметр, площадь и даже углы треугольника.

Рис. 1. Произвольный треугольник.

Суммировав стороны данной фигуры можно определить периметр.

P=a+b+c, где a, b, c – стороны треугольника

А для нахождения площади треугольника тогда следует использовать формулу Герона.

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Где p – полупериметр.

Углы данной геометрической фигуры вычисляют через теорему косинусов.

$$cos α={{b^2+c^2-a^2}\over{2bc}}$$

Значение

Через соотношение сторон треугольника выражают некоторые свойства этой геометрической фигуры:

Напротив наименьшей стороны треугольника находится его наименьший угол.
Внешний угол рассматриваемой геометрической фигуры получают, продлевая одну из сторон.
Напротив равных углов треугольника лежат равные стороны.
В любом треугольнике одна из сторон всегда больше разности двух других отрезков. А сумма любых двух сторон этой фигуры больше третьей.

Один из признаков равенства двух треугольников является соотношение суммы всех сторон геометрической фигуры. Если эти значения одинаковые, то и треугольники будут равными.

Некоторые свойства треугольника зависят от его типа. Поэтому вначале следует учитывать величину сторон или углов этой фигуры.

Формирование треугольников

Если две стороны рассматриваемой геометрической фигуры будут одинаковыми, то этот треугольник называют равнобедренным.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник.

Когда все отрезки в треугольнике будут равны, то получится равносторонний треугольник.

Рис. 3. Равносторонний треугольник.

Любое вычисление удобнее проводить в тех случаях, когда произвольный треугольник можно отнести к определенному типу. Поскольку тогда нахождение требуемого параметра этой геометрической фигуры значительно упростится.

Хотя правильно подобранное тригонометрическое уравнение позволяет решить многие задачи, в которых рассматривается произвольный треугольник.

Что мы узнали?

Три отрезка, которые соединены между собой точками и не принадлежат одной прямой, формируют треугольник. Эти стороны образуют геометрическую плоскость, что используется при определении площади. С помощью данных отрезков можно найти много таких важных характеристик фигуры, как периметр и углы. Соотношение сторон в треугольнике помогает найти его тип. Некоторыми свойствами данной геометрической фигуры можно воспользоваться только, если известны размеры каждой из ее сторон.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.3 . Всего получено оценок: 142.

В геометрии угол - это фигура, которая образована двумя лучами, которые выходят из одной точки (она называется вершиной угла). В большинстве случаев единицей измерения угла является градус (°) - помните, что полный угол или один оборот равен 360°. Найти значение угла многоугольника можно по его типу и значениям других углов, а если дан прямоугольный треугольник, угол можно вычислить по двум сторонам. Более того, угол можно измерить с помощью транспортира или вычислить с помощью графического калькулятора.

Шаги

Как найти внутренние углы многоугольника

Сосчитайте число сторон многоугольника. Чтобы вычислить внутренние углы многоугольника, сначала нужно определить, сколько у многоугольника сторон. Обратите внимание, что число сторон многоугольника равно числу его углов.

Например, у треугольника 3 стороны и 3 внутренних углов, а у квадрата 4 стороны и 4 внутренних углов.

Вычислите сумму всех внутренних углов многоугольника. Для этого воспользуйтесь следующей формулой: (n - 2) x 180. В этой формуле n - это количество сторон многоугольника. Далее приведены суммы углов часто встречающихся многоугольников:
- Сумма углов треугольника (многоугольника с 3-мя сторонами) равна 180°.
- Сумма углов четырехугольника (многоугольника с 4-мя сторонами) равна 360°.
- Сумма углов пятиугольника (многоугольника с 5-ю сторонами) равна 540°.
- Сумма углов шестиугольника (многоугольника с 6-ю сторонами) равна 720°.
- Сумма углов восьмиугольника (многоугольника с 8-ю сторонами) равна 1080°.
Разделите сумму всех углов правильного многоугольника на число углов. Правильный многоугольник это многоугольник с равными сторонами и равными углами. Например, каждый угол равностороннего треугольника вычисляется так: 180 ÷ 3 = 60°, а каждый угол квадрата находится так: 360 ÷ 4 = 90°.
- Равносторонний треугольник и квадрат - это правильные многоугольники. А у здания Пентагона (Вашингтон, США) и дорожного знака «Стоп» форма правильного восьмиугольника.
Вычтите сумму всех известных углов из общей суммы углов неправильного многоугольника. Если стороны многоугольника не равны друг другу, и его углы также не равны друг другу, сначала сложите известные углы многоугольника. Теперь полученное значение вычтите из суммы всех углов многоугольника - так вы найдете неизвестный угол.
- Например, если дано, что 4 угла пятиугольника равны 80°, 100°, 120° и 140°, сложите эти числа: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Теперь вычтите это значение из суммы всех углов пятиугольника; эта сумма равна 540°: 540 - 440 = 100°. Таким образом, неизвестный угол равен 100°.
Совет: неизвестный угол некоторых многоугольников можно вычислить, если знать свойства фигуры. К примеру, в равнобедренном треугольнике две стороны равны и два угла равны; в параллелограмме (это четырехугольник) противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Измерьте длину двух сторон треугольника. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой. Прилежащая сторона это сторона, которая находится возле неизвестного угла. Противолежащая сторона - это сторона, которая находится напротив неизвестного угла. Измерьте две стороны, чтобы вычислить неизвестные углы треугольника.

Совет: воспользуйтесь графическим калькулятором , чтобы решить уравнения, или найдите онлайн-таблицу со значениями синусов, косинусов и тангенсов.

Вычислите синус угла, если вам известны противолежащая сторона и гипотенуза. Для этого подставьте значения в уравнение: sin(x) = противолежащая сторона ÷ гипотенуза. Например, противолежащая сторона равна 5 см, а гипотенуза равна 10 см. Разделите 5/10 = 0,5. Таким образом, sin(x) = 0,5, то есть x = sin -1 (0,5).

Калькулятор онлайн.
Решение треугольников.

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

Эта математическая программа находит сторону $c $, углы $\alpha $ и $\beta $ по заданным пользователем сторонам $a, b $ и углу между ними $\gamma $

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Числа можно задать не только целые, но и дробные.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Введите стороны $a, b $ и угол между ними $\gamma $ Решить треугольник

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудьте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Теорема синусов

Теорема

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$

Теорема косинусов

Теорема
Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тогда
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.

Рассмотрим три задачи на решение треугольника. При этом будем пользоваться такими обозначениями для сторон треугольника ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Дано: $a, b, \angle C $. Найти $c, \angle A, \angle B $

Решение
1. По теореме косинусов находим $c$:

$$ c = \sqrt{ a^2+b^2-2ab \cos C } $$ 2. Пользуясь теоремой косинусов, имеем:
$$ \cos A = \frac{ b^2+c^2-a^2 }{2bc} $$

3. $\angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C $

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Дано: $a, \angle B, \angle C $. Найти $\angle A, b, c $

Решение
1. $\angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C $

2. С помощью теоремы синусов вычисляем b и c:
$$ b = a \frac{\sin B}{\sin A}, \quad c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$

Решение треугольника по трём сторонам

Дано: $a, b, c $. Найти $\angle A, \angle B, \angle C $

Решение
1. По теореме косинусов получаем:
$$ \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$

По $\cos A $ находим $\angle A $ с помощью микрокалькулятора или по таблице.

2. Аналогично находим угол B.
3. $\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B $

Решение треугольника по двум сторонам и углу напротив известной стороны

Дано: $a, b, \angle A $. Найти $c, \angle B, \angle C $

Решение
1. По теореме синусов находим $\sin B $ получаем:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b}{a} \cdot \sin A $$

Введём обозначение: $D = \frac{b}{a} \cdot \sin A $. В зависимости от числа D возможны случаи:
Если D > 1, такого треугольника не существует, т.к. $\sin B $ больше 1 быть не может
Если D = 1, существует единственный $\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ $
Если D Если D 2. $\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B $

3. С помощью теоремы синусов вычисляем сторону c:
$$ c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач